When | Why |
---|---|
Feb-18-18 | график функције |
Тригонометријске функције
Дефиниције тригонометријских функција оштрог угла
Нека је троугао ABCABC правоугли, са правим углом код темена CC.
Означимо са aa и bb редом дужине катета BCBC и CACA, а са cc дужину хипотенузе ABAB троугла ABCABC. Нека је α=∡CABα=∡CAB и β=∡CBAβ=∡CBA. Тада је:
sinα=acsinβ=bcsinα=acsinβ=bc
cosα=bccosβ=accosα=bccosβ=ac
tgα=abtgβ=batgα=abtgβ=ba
ctgα=bactgβ=abctgα=bactgβ=ab
secα=cbsecβ=casecα=cbsecβ=ca
cosecα=cacosecβ=cbcosecα=cacosecβ=cb
Тригонометријска кружница
Тригонометријска кружница kk је кружница са центром у координатном почетку, OO полупречника 11.
Нека је φφ произвољан угао посматран у смеру супротном смеру кретања казаљке на сату, почевши од позитивног дела OxOx-осе.
Тачка M(x,y)M(x,y) је тачка у којој други крак угла сече кружницу kk.
Синус неког угла у правоуглом троуглу је однос наспрамне катете и хипотенузе, па је sinφ=b1=bsinφ=b1=b. Видимо да sinφsinφ можемо очитати спуштајући нормалу из тачке ММ на yy-осу.
Косинус неког угла представља однос налегле катете и хипотенузе у правоуглом троуглу, па је cosφ=a1=acosφ=a1=a. Видимо да cosφcosφ можемо очитати спуштајући нормалу из тачке ММ на xx-осу.
Тангенс неког угла једнак је односу наспрамне и налегле катете, па је tgφ=c1=ctgφ=c1=c. Видимо да тангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са yy-осом.
Котангенс неког угла једнак је односу налегле и наспрамне катете, па је ctgφ=d1=dctgφ=d1=d. Видимо да кoтангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са xx-осом.
Како угловима φ+2kπ, k∈Zφ+2kπ, k∈Z на кружници kk одговара иста тачка MM, важи
sin(φ+2kπ)=sinφcos(φ+2kπ)=cosφsin(φ+2kπ)=sinφcos(φ+2kπ)=cosφ
Угловима φ+kπ, k∈Zφ+kπ, k∈Z одговарају исти одсечци на тангентама, и важи
tg(φ+kπ)=tgφ,ctg(φ+kπ)=ctgφ.tg(φ+kπ)=tgφ,ctg(φ+kπ)=ctgφ.
Тачка M(x,y)=M(cosφ,sinφ)M(x,y)=M(cosφ,sinφ) припада кружници kk за свако φ∈Rφ∈R, и важи
−1⩽sinφ⩽1,−1⩽cosφ⩽1−1⩽sinφ⩽1,−1⩽cosφ⩽1,
sin2φ+cos2φ=1sin2φ+cos2φ=1
Знак тригонометријских функција по квадрантима
Osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija
Адиционе формуле
За свако α,β∈Rα,β∈R важи
sin(α±β)=sinα∙cosβ±cosα∙sinβ,sin(α±β)=sinα∙cosβ±cosα∙sinβ,
cos(α±β)=cosα∙cosβ∓sinα∙sinβ.cos(α±β)=cosα∙cosβ∓sinα∙sinβ.
За свако α,β∈R∖{π2+kπ:k∈Z}α,β∈R∖{π2+kπ:k∈Z} важи
tg(α±β)=tgα±tgβ1∓tgα∙tgβ,(1∓tgαtgβ≠0).tg(α±β)=tgα±tgβ1∓tgα∙tgβ,(1∓tgαtgβ≠0).
За свако α,β∈R∖{kπ:k∈Z}α,β∈R∖{kπ:k∈Z} важи
ctg(α±β)=ctgα∙ctgβ∓1ctgα±ctgβ,(ctgα±ctgβ≠0).ctg(α±β)=ctgα∙ctgβ∓1ctgα±ctgβ,(ctgα±ctgβ≠0).
Тригонометријске функције двоструког угла
sin2α = 2sinαcosα,sin2α = 2sinαcosα,
cos2α = cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1,cos2α = cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1,
tg2α=2tgα1−tg2α,ctg2α=ctg2α−12ctgα.tg2α=2tgα1−tg2α,ctg2α=ctg2α−12ctgα.
ctgα2α =±1+cosα1−cosα=sinα1−cosα=1+cosαsin.
Трансформација збира и разлике тригонометријских функција у производ
sinα±sinβ=2sinα±β2∙cosα∓β2,sinα±sinβ=2sinα±β2∙cosα∓β2,
cosα+cosβ=2cosα+β2∙cosα−β2,cosα+cosβ=2cosα+β2∙cosα−β2,
cosα−cosβ=−2sinα+β2∙sinα−β2,cosα−cosβ=−2sinα+β2∙sinα−β2,
tgα±tgβ=sin(α±β)cosα∙cosβ,tgα±tgβ=sin(α±β)cosα∙cosβ,
ctgα±ctgβ=sin(β±α)sinα∙sinβ.ctgα±ctgβ=sin(β±α)sinα∙sinβ.
Трансформација производа тригонометријских функција у збир или разлику
sinα∙sinβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)],sinα∙sinβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)],
sinα∙cosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)],sinα∙cosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)],
cosα∙cosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)].cosα∙cosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)].
Важније тригонометријске формуле
sinα=2tgα21+tg2α2,cosα=1−tg2α21+tg2α2,tgα=2tgα21−tg2α2,sinα=2tgα21+tg2α2,cosα=1−tg2α21+tg2α2,tgα=2tgα21−tg2α2,
sinα+sin2α+sin3α+...+sinnα=cosα2−cos(2n+1)α22sinα2,sinα+sin2α+sin3α+...+sinnα=cosα2−cos(2n+1)α22sinα2,
cosα+cos2α+cos3α+...+cosnα=−sinα2+sin(2n+1)α22sinα2.
Added February 18, 2018 at 4:26pm
by profesor Jovanović
Title: график функције
Logging in, please wait...
0 General Document comments
0 Sentence and Paragraph comments
0 Image and Video comments
New Conversation
New Conversation
New Conversation
Адиционе формуле
Reason: Раздвојити формуле
New Conversation
Hide Full Comment
New Conversation
New Conversation
General Document Comments 0
у оквиру ове теме дефинишу се тригонометријске функције, разматра тригонометријски круг и тригонометријске трансформације
New Conversation
Hide Full Comment