NowComment
2-Pane Combined
Comments:
Full Summaries Sorted

Тригонометријске функције

1 additions to document , most recent about 6 years ago

When Why
Feb-18-18 график функције

Тригонометријске функције

Дефиниције тригонометријских функција оштрог угла

Нека је троугао ABCABC правоугли, са правим углом код темена CC.

Означимо са aa и bb редом дужине катета BCBC и CACA, а са cc дужину хипотенузе ABAB троугла ABCABC. Нека је α=CABα=CAB и β=CBAβ=CBA. Тада је:

pravougli trougao

  1. Синус: количник наспрмне стране и хипотенузе,

sinα=acsinβ=bcsinα=acsinβ=bc

  1. Косинус: количник налегле катете и хипотенузе,

cosα=bccosβ=accosα=bccosβ=ac

  1. Тангенс: количник наспрамне и налегле катете,

tgα=abtgβ=batgα=abtgβ=ba

  1. Котангенс: количник налегле и наспрамне катете,

ctgα=bactgβ=abctgα=bactgβ=ab

  1. Секанс: количник хипотенузе и налегле катете,

secα=cbsecβ=casecα=cbsecβ=ca

  1. Косеканс: количник хипотенузе и наспрамне катете

cosecα=cacosecβ=cbcosecα=cacosecβ=cb

Тригонометријска кружница

Тригонометријска кружница kk је кружница са центром у координатном почетку, OO полупречника 11.

Нека је φφ произвољан угао посматран у смеру супротном смеру кретања казаљке на сату, почевши од позитивног дела OxOx-осе.

Тачка M(x,y)M(x,y) је тачка у којој други крак угла сече кружницу kk.

trigonometrijska kruznica1

Синус неког угла у правоуглом троуглу је однос наспрамне катете и хипотенузе, па је sinφ=b1=bsinφ=b1=b. Видимо да sinφsinφ можемо очитати спуштајући нормалу из тачке ММ на yy-осу.

Косинус неког угла представља однос налегле катете и хипотенузе у правоуглом троуглу, па је cosφ=a1=acosφ=a1=a. Видимо да cosφcosφ можемо очитати спуштајући нормалу из тачке ММ на xx-осу.

trigonometrijska kruznica2

Тангенс неког угла једнак је односу наспрамне и налегле катете, па је tgφ=c1=ctgφ=c1=c. Видимо да тангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са yy-осом.

Котангенс неког угла једнак је односу налегле и наспрамне катете, па је ctgφ=d1=dctgφ=d1=d. Видимо да кoтангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са xx-осом.

trigonometrijska kruznica

Како угловима φ+2, kZφ+2kπ, kZ на кружници kk одговара иста тачка MM, важи

sin(φ+2)=sinφcos(φ+2)=cosφsin(φ+2kπ)=sinφcos(φ+2kπ)=cosφ

Угловима φ+, kZφ+kπ, kZ одговарају исти одсечци на тангентама, и важи

tg(φ+)=tgφ,ctg(φ+)=ctgφ.tg(φ+kπ)=tgφ,ctg(φ+kπ)=ctgφ.

Тачка M(x,y)=M(cosφ,sinφ)M(x,y)=M(cosφ,sinφ) припада кружници kk за свако φRφR, и важи

−1sinφ1,−1cosφ1−1sinφ1,−1cosφ1,

sin2φ+cos2φ=1sin2φ+cos2φ=1

Знак тригонометријских функција по квадрантима

znak trig fja

Osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija

tablica

Адиционе формуле

За свако α,βRα,βR важи

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,

cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ.cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ.

За свако α,βR{π2+:kZ}α,βR{π2+kπ:kZ} важи

tg(α±β)=tgα±tgβ1tgαtgβ,(1tgαtgβ≠0).tg(α±β)=tgα±tgβ1tgαtgβ,(1tgαtgβ≠0).

За свако α,βR{:kZ}α,βR{kπ:kZ} важи

ctg(α±β)=ctgαctgβ1ctgα±ctgβ,(ctgα±ctgβ≠0).ctg(α±β)=ctgαctgβ1ctgα±ctgβ,(ctgα±ctgβ≠0).

Тригонометријске функције двоструког угла

sin2α = 2sinαcosα,sin = 2sinαcosα,

cos2α = cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1,cos = cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1,

tg2α=2tgα1−tg2α,ctg2α=ctg2α−12ctgα.tg2α=2tgα1−tg2α,ctg2α=ctg2α−12ctgα.

ctgα2α =±1+cosα1−cosα=sinα1−cosα=1+cosαsin.

Трансформација збира и разлике тригонометријских функција у производ

sinα±sinβ=2sinα±β2cosαβ2,sinα±sinβ=2sinα±β2cosαβ2,

cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2,cosα+cosβ=2cosα+β2cosα−β2,

cosα−cosβ=−2sinα+β2sinαβ2,cosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2,

tgα±tgβ=sin(α±β)cosαcosβ,tgα±tgβ=sin(α±β)cosαcosβ,

ctgα±ctgβ=sin(β±α)sinαsinβ.ctgα±ctgβ=sin(β±α)sinαsinβ.

Трансформација производа тригонометријских функција у збир или разлику

sinαsinβ=12[cos(αβ)−cos(α+β)],sinαsinβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)],

sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(αβ)],sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)],

cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)].cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)].

Важније тригонометријске формуле

sinα=2tgα21+tg2α2,cosα=1−tg2α21+tg2α2,tgα=2tgα21−tg2α2,sinα=2tgα21+tg2α2,cosα=1−tg2α21+tg2α2,tgα=2tgα21−tg2α2,

sinα+sin2α+sin3α+...+sin=cosα2−cos(2n+1)α22sinα2,sinα+sin2α+sin3α+...+sinnα=cosα2−cos(2n+1)α22sinα2,

cosα+cos2α+cos3α+...+cos=−sinα2+sin(2n+1)α22sinα2.

DMU Timestamp: February 08, 2018 18:47

Added February 18, 2018 at 4:26pm by profesor Jovanović
Title: график функције

DMU Timestamp: February 08, 2018 18:47





Image
0 comments, 0 areas
add area
add comment
change display
Video
add comment

Quickstart: Commenting and Sharing

How to Comment
  • Click icons on the left to see existing comments.
  • Desktop/Laptop: double-click any text, highlight a section of an image, or add a comment while a video is playing to start a new conversation.
    Tablet/Phone: single click then click on the "Start One" link (look right or below).
  • Click "Reply" on a comment to join the conversation.
How to Share Documents
  1. "Upload" a new document.
  2. "Invite" others to it.

Logging in, please wait... Blue_on_grey_spinner